742. Орлов А.И. Роль медиан Кемени в экспертных оценках и статистическом анализе данных // Теория активных систем: Труды международной научно-практической конференции (14-16 ноября 2011 г., Москва, Россия). Том I. Общая редакция – В.Н. Бурков, Д.А. Новиков. – М.: ИПУ РАН, 2011. – С.172-176. 

Роль медиан Кемени в экспертных оценках и статистическом анализе данных
Орлов А.И.
(Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва)
рrof-orlov@mail.ru

Прослежена эволюция представлений о расстоянии Кемени и медиане Кемени. Показана центральная роль этих понятий в формировании теории экспертных оценок и новой парадигмы прикладной статистики. Предложена модифицированная медиана Кемени, удобная для вычислений и позволяющая избежать эффекта «центра дырки от бублика».

Ключевые слова: экспертные оценки, расстояние Кемени, медиана Кемени, модифицированная медиана Кемени.

Введение
При анализе истории и нынешнего состояния экспертных оценок в нашей стране [1,2] выявлена исключительная роль расстояния и медианы Кемени в развитии теории экспертных оценок. Несколько ранее была окончательно сформулирована новая парадигма прикладной статистики [3,4], и оказалось, что центральным ядром статистических методов является статистика в пространствах произвольной природы, а центральным результатом – закон больших чисел в таких пространствах, состоящий в стремлении эмпирических средних к теоретическому, причем определение эмпирического среднего является непосредственным обобщением медианы Кемени. Таким образом, в этих двух взаимосвязанных научно-практических областях центральным понятием является медиана Кемени, что оправдывает ее обсуждение в настоящем докладе. 
1. Современное понимание расстояния Кемени 
Первоисточник – книга Дж. Кемени и Дж. Снелла [5]. Рассмотрен класс бинарных отношений, названных «упорядочениями». Различные авторы использовали также названия «ранжировки со связями», «квазисерии», «совершенные квазипорядки». В настоящее время мы используем термин «кластеризованные ранжировки» [2-4].
Первое достижение Дж. Кемени – аксиоматическое введение расстояния между кластеризованными ранжировками (в [5] имеются ссылки на предыдущие работы Дж. Кемени, из которых ясно, что авторство принадлежит именно ему).
Как известно, любое бинарное отношение, определенное на конечном множестве из k элементов, может быть поставлено в соответствие квадратной матрице из 0 и 1 порядка k. Пусть A и B – два бинарных отношения, которым соответствуют матрицы ||a(i,j)|| и ||b(i,j)|| соответственно. В [5] приведена система аксиом, из которой выведен вид расстояния d(A,B) между кластеризованными ранжировками A и B:
(1)	 
(вид расстояния приведен с точностью до множителя). Этот результат Дж.Кемени породил большое число аналогичных исследований, посвященных выводу вида тех или иных расстояний в различных пространствах из подходящих систем аксиом [2-4]. В сводке [6] приведена 161 литературная ссылка.
Докладчик должен взять на себя ответственность за перенос названия «расстояние Кемени» на расстояния вида (1) в произвольных пространствах бинарных отношений. Именно такое определение мы включили в Энциклопедию [7].
2. Различные варианты медиан Кемени 
В [5] в качестве итогового мнения комиссии экспертов A(1), A(2), …, A(n) предложено применять «медиану  Кемени», т.е. результат минимизации суммы расстояний Кемени от мнений экспертов до произвольного бинарного отношения X:
(2)	
В [5] мнения экспертов – кластеризованные ранжировки, минимизация проводится по пространству B всех кластеризованных ранжировок. Докладчик должен взять на себя ответственность за перенос названия «медиана Кемени» на случай произвольных пространств бинарных отношений [8]. При этом в [8] минимизация проводится по тому же пространству бинарных отношений, в котором лежат мнения экспертов.
Напрашивается следующий шаг в обобщении медианы Кемени: пусть ответы экспертов лежат в пространстве A, в то время как минимизация проводится по пространству B. 
Если пространства A и B различны, возникают новые эффекты. Например, если B – пространство всех бинарных отношений, то согласно формуле (2) медиана Кемени находится элементарно – по правилу большинства (если в определенной клетке описывающих мнения экспертов матриц единиц половина или больше, то в итоговой матрице ставим единицу, аналогично для нулей). Этот факт с завидной регулярностью обнаруживают и публикуют наивные авторы. В то же время если A и B – пространства кластеризованных ранжировок, то известные алгоритмы Б.Г. Литвака [9] и В.Н. Жихарева [4] нахождения медианы Кемени достаточно сложны. 
Множество B, по которому проводится минимизация, может не быть пространством бинарных отношений, а составлено по иным принципам. В педагогических целях мы использовали в учебниках [2-4] множество B из небольшого числа элементов (порядка 10), что позволяло ограничиться ручным счетом. 
Предлагаем применять модифицированную медиану Кемени, в которой B ={A(1), A(2), …, A(n)}. Итоговое мнение комиссии экспертов при этом совпадает с мнением одного из экспертов, что позволяет избежать эффекта «центра дырки от бублика» (если предположить, что мнения экспертов равномерно распределены по поверхности тора, то медиана Кемени – центр «дырки от бублика», что делает ее расчет бессмысленным).
Актуально сравнение медианы Кемени с другими методами нахождения коллективного мнения экспертов, в частности, с методами средних арифметических рангов и медиан рангов [2].
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках Постановления Правительства РФ № 218.
Литература
1.	ОРЛОВ А.И. О развитии экспертных технологий в нашей стране // Заводская лаборатория. 2010. Т.76. No.11. С.64-70. 
2.	ОРЛОВ А.И. Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. Ч.2. Экспертные оценки. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - 486 с. 
3.	ОРЛОВ А.И. Прикладная статистика. М.: Экзамен, 2006. – 671 с.
4.	ОРЛОВ А.И. Организационно-экономическое моделирование : учебник : в 3 ч. Ч.1. Нечисловая статистика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2009. – 541 с. 
5.	КЕМЕНИ Дж., СНЕЛЛ Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения. М.: Советское радио, 1972. – 192 с.
6.	РАУШЕНБАХ Г.В. Меры близости и сходства в социологии / Анализ нечисловой информации в социологических исследованиях. М.: Наука, 1985. С.169-203.
7.	ОРЛОВ А.И. Кемени расстояние / Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999. С.230 – 230.
8.	ОРЛОВ А.И. Кемени медиана / Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999. С.229 – 230.
9.	ЛИТВАК Б.Г. Экспертная информация: методы получения и анализа. М.: Радио и связь, 1982. – 184 с.